更新时间：2024-08-24 11:05
已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC
1.AD为角平分线，求证：BD=CD，AD⊥BC.
在△ABD和△ACD中：
∠BAD=∠CAD
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=1/2∠BDC=90°
2.AD为中线，求证：∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.
在△ABD和△ACD中：
BD=CD
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=1/2∠BDC=90°
3.AD为高线，求证：∠BAD=∠CAD,BD=CD.
在△ABD和△ACD中：
∠ADB=∠ADC=90°
AD=AD
AB=AC
∴△ABD≌△ACD（HL）
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD
综上所述，等腰三角形三线合一
① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线
（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(ASA)
∴AB=AC
（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：
∵AD是BC中线，
∴S△ABD=S△ACD，
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
又∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∴AB=AC（等底等高）
（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：
∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC