更新时间：2022-09-24 10:56
勒让德变换（英语：Legendre transformation）是一个在数学和物理中常见的技巧，得名于阿德里安-马里·勒壤得（Arien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。 它经常用于经典力学中，从拉格朗日形式导出哈密顿形式；以及在热力学中，推导出热力学势，并求解多个变量的微分方程。
为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 改用一个新函数 来表示，其变数 是 的导数， 。而 的值是如概述图蓝线在 y 轴的负截距
换句话说，从 x 值到 y 值的函数，转换成 f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数
这程序是由阿德里安-马里·勒壤得所发明的，因此称为勒让德变换。称函数 为 的勒让德变换；
用方程表示
。
此式子表示 中的 u 对 而言是个参数，且参数 u 会满足 的 。即求算表达式关于变数 的极值。
为方便讨论，把讨论限定在 为严格单调递增。会有这方程是因为在 也就是斜率不变的状况下，对每个 而言，所有与曲线 相交且斜率为 的直线族为 。若令 ，该直线即是 在 的切线方程。把x当作常数并由概述图直接观察可知，在 的情况下， 值是最小的，也就是说直线方程中 这部分是最大的，而正好 ，正是原方程所求的极值。
勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数 设定的函数关系可以用 点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。
若将勒让德变换广义化，则会变为勒壤得-芬伽转换（Legendre-Fenchel transformation）。勒让德变换时常用于热力学与哈密顿力学。
更详细地定义勒让德变换，为了求得 关于 的最大值，设定
。
则
。(1)
这表达式必为最大值。因为，凸函数 的二阶导数是负数：
；
用方程 (1) 来计算函数 的反函数 。代入 方程，即可以得到想要的形式：
。
计算 的勒让德变换，所需的步骤为：
找出导函数 ，
计算导函数 的反函数 ，
代入 方程来求得新函数 。
这定义切确地阐明：勒让德变换制造出一个新函数 ；其新自变数为 。
另外一种勒让德变换的定义是：假若两个函数 与 的一阶导数是互相的反函数；
，
或者，
，
则 与 互相为彼此的勒让德变换。
依照定义，
，
。
思考下述运算：
。
所以，
；
这里， 。
这答案是标准答案；但并不是一个答案。设定
，
也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案。
在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变数，转换为一个新函数与所含有的一个新自变数，（此新自变数是旧函数对于旧自变数的偏导数）；将旧函数减去新自变数与旧自变数的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。例如，内能是外延量（extensive）熵，体积，与化学成分（chemical composition） 的显函数
。
对于 ，函数 （非标准的）勒让德变换为焓函数 ：
，
。
一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。
对于 ，函数 勒让德变换为吉布斯能函数 :
，
。
对于 ，函数 勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数 :
，
。
这些自由能函数时常用在常温的物理系统。
在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量是广义坐标与广义速度的函数；而哈密顿量将函数的自变量转换为广义坐标 与广义动量：
，
。
正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变， ，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为
，
，
；
这里， 是旧正则坐标， 是新正则坐标， 是旧哈密顿量， 是新哈密顿量， 是生成函数。