多焦点圆理论与方法表明：卵圆和圆、椭圆都具有相同的属性和图形特征，各种圆形满足动点与定点间环线长为常数的规则。不同的是焦点数目和对称轴数目，形成各有特色的不同图形。采用环线的方法将各种圆形的概念统一起来。

所谓环线，是指一条环形闭合线。各种圆形在其形成规则中，动点与定点之间以环线为常数的规则。环线内可容纳多个定点（焦点），多个定点（焦点）之间的连线，形成定点（焦点）多边形，如：点、线段、三角形、四边形等等。不同数目焦点和焦点形状，形成各种形状的多焦点圆图形。

圆、椭圆和卵圆的形状存在着明显的差异。从焦点数目角度分析，圆是一个焦点，椭圆是两个焦点。增加一个焦点，使圆变扁形成了椭圆。卵圆与椭圆类似，相当于椭圆的宽偏离中点，卵圆的焦点数目应该多于椭圆的焦点数目。因此，应用环线的方法，通过增加焦点数目，引起椭圆变形从而得到卵圆。

2.2 圆形作图—环线作图方法

环线作图方法属于连续移动作图，是各种圆形的通用作图方法，适合不同大小的圆、椭圆和卵圆的作图。

方法简介：（1）环形线制作：取一段长度（30—50cm）和粗细适中弹性小的软线，一段8mm长细电线空塑料管，软线从塑料管中相向窜过，塑料管将软线夹紧，但用力能抽动，形成能收缩和放长的环形线。（2）作图工具为环形线、大头针、直尺和笔。（3）在作图平面上作出焦点纺锤形和边的延长线的交点。（4）将大头针分别直立、固定在纺锤形的四个顶点上；（5）将符合长度的环形线套在大头针外，画笔由内向外拉直环线，通过调整环线的长度使笔尖刚好落在纺锤形边的延长线的交点上，将画笔移动一周。

2.3内在规则

应用环线方法，对不同焦点数和焦点形状的图形分析、比较，得到一种特定条件的四焦点圆，符合卵圆的基本图形特征。即：四个焦点为纺锤形，以纺锤形边的延长线的交点为动点，与纺锤形之间形成的环线长为常数的四焦点圆。

标准卵圆定义：平面内，以任意纺锤形边的延长线的交点为动点，与纺锤形之间形成的环线长为常数的轨迹称做四焦点标准卵圆。纺锤形称为焦点多边形，是卵圆的基本属性。

卵圆是受条件约束的四焦点圆，符合卵圆图形特征，具有形成图形的内在规律。因此，把特定条件的四焦点圆称为标准卵圆。

3特性

3.1六段弧组合曲线

卵圆是由五个椭圆（相关联或约束）的六段椭圆曲线通过相切组合形成的规范的闭合光滑曲线图形。建立适当的直角坐标系，根据纺锤形参数，各段椭圆曲线都能够建立对应的椭圆方程。根据分段函数方程，对曲线和图形作具体分析。卵圆曲线属于分段函数，是规范的分段函数曲线图形。

3.2三参数平面图形

表示卵圆图形的大小和形状，至少需要三个参数或特征参数，属于三个参数的平面图形。

3.2.1参数

形成卵圆图形的基本数据称为参数。卵圆图形是由纺锤形确定的，纺锤形系指：具有一条对称轴，对角线互相垂直的四边形。见图4中的四边形ABDC。纺锤形的几何特征为：一条对称轴、两条对称的长边和短边、两条相互垂直的对角线。要确定一个纺锤形至少需要边长和对角线的任意三个数据。由于纺锤形的边长和对角线之间存在着简单几何关系，可以衍生出比值做为参数。因此，纺锤形是三参数平面图形，所以卵圆也是三参数平面图形。

3.2.2特征参数

卵圆只有一条对称轴，长和宽有数量大小的变化，宽可以在对称轴上的不同位置，图形特征是一头大、一头小，两端不对称。因此，卵圆图形要用长、宽和半轴三个参数描述。长为对称轴的长度；宽为圆周与对称轴垂直的极大值；半轴为宽与对称轴垂足至对称轴两端的长度，纺锤形的长边一端称为上半轴，短边称为下半轴，两个半轴的长短不相等且可以相互转化，将长的半轴称为半轴。因此长、宽和半轴三个特征参数反映卵圆的大小和形状。

3.3分析方法

卵圆的参数分为参数和特征参数两种，两种参数都可以确定一个具体的卵圆。可以从参数和特征参数两个方面对图形进行分析。

3.3.1参数分析

根据已知纺锤形参数值，建立参数与特征参数的关系式，对卵圆作以下几方面分析：

（1）计算对称多焦点圆的特征参数（长、宽、和半轴）。

（2）计算周长、面积。（有待探讨）

（3）计算卵圆的某些特殊值。

（4）卵圆作图。（只有参数方可作出多焦点圆图形）。

（5）卵圆的图形设计。（任意选择参数设计出所需图形）。

3.3.2特征参数分析

通过特征参数（长、宽和半轴）求解参数，再由所求的参数对多焦点圆作具体分析。由于参数与特征参数关系的复杂性，难以通过关系式直接解出参数值。根据卵圆的性质，利用参数与特征参数关系式，采用参数模拟计算方法，实现以特征参数对参数的求解。模拟计算是一种逐步逼近的近似方法，其精确度根据需要自行确定。因此，参数和特征参数两种方式确定同一个卵圆。

3.4单位卵圆

以卵圆的对称轴长为单位长度，卵圆的特征参数除以单位长度，得出单位卵圆的特征参数。单位卵圆的长为1，单位半轴为0.5≤R＜1；单位宽值因卵圆形状的长、扁而不同。单位卵圆主要用于不同大小卵圆间的形状和特征的比较和分析。特别是在参数模拟计算中，需要把卵圆特征参数化为单位圆参数。

3.5卵圆方程

3.5.1分段函数方程

四焦点卵圆的6段椭圆弧，根据参数，建立各段椭圆建立联立方程，属于分段函数方程。

3.5.2卵圆标准方程

基于椭圆或圆的标准方程推导出的卵圆方程称做：卵圆标准方程。

其中：a为长半径，b为短半径，c为对称半径。

3.5.3四次卵圆方程

3.5.4参数式卵圆方程

3.5.4.1参数式卵圆曲线的周长

3.5.4.2参数式卵圆曲线所围图形面积

3.5.4.3参数式卵圆曲线所围图形的质心

3.5.4.4参数式卵圆曲线所围图形绕y轴的转动惯量

其中是面密度为常数的卵形曲线薄片的质量。

3.5.4.5参数式卵圆曲线曲率K和率半径R

3.5.4.6参数式卵圆曲线所围图形绕y轴旋转而成的旋转卵形体的体积

3.5.4.7参数式卵圆曲线绕y轴旋转而成的旋转卵形体的质心为

4图形特征

卵圆的三参数平面图形多样性，超出人们一般的想象。卵圆的参数和特征参数是相关联的两组数据，参数是卵圆的内在因素，特征参数是卵圆的表现形式。卵圆的宽可以在对称轴上不同位置，宽为卵圆的中点和BD延长线的交点，是卵圆图形特征变化的两个临界点。

当宽处于卵圆对称轴的中点时，卵圆的上、下半轴相等。当宽向纺锤形的短边移动时，长半轴为下半轴；当宽向纺锤形的长边移动时，长半轴为上半轴。因此，中点是上、下半轴互为长半轴的临界点。

5计算方法

卵圆由参数和特征参数两种表示方法。参数系指焦点纺锤形参数或比值，特征参数系指形状参数。根据卵圆参数，可以建立参数与参数、参数与特征参数之间关系式。

5.1参数计算

根据卵圆的参数，通过建立的参数和参数、参数和特征参数的关系式，在微机上编制计算表格，计算卵圆的相关参数和特征参数。设AB、BD和BC为卵圆的三个参数（可以设定为其他参数），三个参数确定纺锤形ABDC，从而确定一个标准卵圆。因此，三个参数可以计算出卵圆的特征参数和相关参数。

5.2特征参数

由卵圆的特征参数与参数之间能够建立的等式关系式，已知特征参数的长、宽和半轴，则不能直接计算出卵圆的参数值，这是由于两者间复杂关系决定的。采用模拟计算方法，解决了已知特征参数卵圆的参数求解（算例略）。

6参考文献：

多焦点圆及其椭圆和卵圆[J].图学学报，2013，34（2）：52—64.

多焦点圆.百度百科.

卵圆图形特征.百度文库.