更新时间：2023-02-08 16:38
多值函数定义：设X是一个非空数集，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若在X中有至少一个元素x，按对应法则f，Y有至少两个元素y与之对应，且对X中的所有元素x，按对应法则f，都有Y中的元素y与之对应，则称f为从X到Y的多值函数，记作y=f(x)。
若对定义域每一个自变量x，其对应的函数值f(x)是唯一的，则称f(x)是单值函数，反之则称f(x)是多值函数。关键词“每一个”，“唯一的”。
单值函数定义：设X是一个非空数集，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f(x)。习惯上也说y是x的函数。
这两个定义的区别可抓关键词的变化，“唯一的”变为“至少一个”且具备“一对多”的情况。
多值函数的例子：
（1）若│f(x)│=2x-1，则f(x)=±(2x-1)，一个自变量x对应两个函数值。
（3）y=Arcsinx，一个自变量x对应无数个函数值。
（4）每个大于0的实数都有二个实数的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
（5）一般而言，许多不为0的复数都有二个平方根、三个立方根、n个n次方根，只有0的n次方根为0。
（6）复对数函数是多值函数。log(a+bi)（ a和b为实数）的值是，其中 n为任意整数。 .
（7）反三角函数为周期性的多值函数，例如
因此，arctan(1)在本质上会对应许多数值：π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tanx的定义域在−π/2
（8）不定积分也可以视为是多值函数，函数f的不定积分是一个函数的集合，集合中的每一个函数微分后都是f，因此不定积分存在一积分常数，因为积分常数不论本身数值多少，微分后都是0。
（9）所有的多值函数都是来自非单射的函数，因为原始函数无法完全保存其输入的资讯，因此函数也就不可逆。
（10）复变函数的多值函数会有分支点，例如n次方根以及对数函数中，0是分支点，而arctan函数中，虚数单位i和−i为分支点。利用分支点可以限定范围的方式，将这些函数重新定义为单值函数。若是在实函数的例子中，这个限制的区域一般会称为函数的主分支。
1、函数是指实数集对实数集的映射，而从映射的角度出发是定义域中的每个元素只能有一个像。多值函数的一个X可以有两个Y与之对应，这是否与函数的定义相违背？
如果定义函数是映射的一种，那么从映射的定义上来看，多值函数不是函数。如果定义函数是一种对应法则（许多课本亦如此定义），那么毫无疑问，多值函数是函数的一类。
所以多值函数是不是函数取决于对于函数的定义。可以说狭义的函数特指单值函数，但是广义的函数既包含单值函数，也包含多值函数。
你认为的矛盾是已经从某种意义上把多值函数归为函数范畴了，如果你把术语函数换成对应来就好理解，对应和多值对应从字面意思就能看出他们所指并不一样，所以并不存在矛不矛盾的话题。就相当于解释什么是‘维’‘一维’‘二维’‘多维’一样。
2、多值函数是不是函数?
问题出在函数的定义里，在早些年出版的教材里，函数的定义里没有“唯一”两个字，因此函数就有单值函数与多值函数的区分，按那种定义，多值函数是函数；近些年出版的教材里，函数的定义里有“唯一”两字，因此函数都是单值的，从这个意义上说，多值函数就不是函数了。