更新时间：2023-06-26 02:27
对于形式如下的特征值问题：
等价形式
由于B正定，故广义特征值问题可转化为下面两种形式
（1）用B-1 左乘原式两端得：
B-1 Ax=λx
这样就把广义特征值问题等价地化为了矩阵B-1 A的普通特征值问题，虽然B-1，A都是对称矩阵，但其乘积一般不再是对称矩阵。
（2）对于正定矩阵B进行Cholesky分解，得B=GGT，其中G是下三角矩阵，于是原式可以写为：
Ax=λGGTx
令y=GTx，则有x=（G-1 ）Ty，整理得
Sy=λy
其中S=G-1 A（G-1 ）T是对称矩阵
（3）计算矩阵B的谱分解B=X△XT ，其中X是正交矩阵，△是对角矩阵。因此原式等价于：
XTAXy=λ△y，其中y=XTx，进而转化为：Dz=λz，其中D=△-1/2XTAX△1/2，z=△1/2y
但是当矩阵A，B均为稀疏对称矩阵时，（2）（3）算法均丢失了矩阵的稀疏性，引起了计算量和存储量的增加。
并行算法
（1）二分/多分法
二分/多分法是计算实对称矩阵特征值问题最常用的并行算法，尤其适合计算部分特征值问题，大多数情况下只需计算给定区间内的特征值或给定序号的特征值，因而二分/多分法是一个很好的选择。
（2）分治算法
分治算法简称为DC算法，是一种较新的比较适合计算的矩阵广义特征值问题算法。DC算法的基本思想是将大问题分解为两个易于计算的子问题，先求解子问题，然后构成一个比原问题容易求解的广义特征值问题。对于子问题，仍可继续利用DC算法，使矩阵规模达到很小，以便于计算。
（3）同伦连续法
同伦连续法是求解矩阵广义特征值问题的一种新的并行算法。
（4）迭代法
前面介绍的计算广义特征值问题的各种算法都要对矩阵进行变换，然后进行求解。另外还有一类算法，只用到矩阵与向量相乘而不作矩阵变换，此类算法就是迭代法。典型的迭代法有 Lanczos 、Davidson、 Arnoldi 、子空间迭代、 Rayleigh商逆迭代等算法。