更新时间：2024-06-06 11:50
长度为q的q进制里德-索罗门码，这样的码叫做扩展码。该码可纠正t=（n-k）/2 个符号错误，且既可以将它看做是对可以纠正t一1个错误、检测t个错误(扩展)的码添加一个奇偶校验，还可以将它看做是对可以纠正t个错误的码加上一个额外的信息符号。
(n，k)分组码都是纠正单个错误的。假设出现两位错，且错误模式为和，则错误伴随式是H的第i列和第j列相应位按模2求和的结果。因为H的各列互不相同，故，所以有错。但是，它可能与第k列相同，即。这时，也就是说，如果错了两位，不仅不能正确译码，而且也发现不了错误，这是人们不希望的。
例如（7,4）码的校验矩阵为
若第5位和第6位有错，则伴随式为
它恰好与第3列相同。这时，就将错误模式0000110误认为0010000，于是，就将实际无错的第3位错纠了。
所以，上述由H矩阵构成的码，只能纠正单个错误，而不能发现两个错误，当然更谈不上纠正两个错误了。为了能纠正一个错误，又能够发现两个错误，可以在纠单错码的基础上加以扩展，使构造的H矩阵保证任意3列线性无关。
构造长度为q的q进制里德-索罗门码，这样的码叫做扩展码。该码可纠正t=（n-k）/2个符号错误，且既可以将它看做是对可以纠正t一1个错误、检测t个错误(扩展)的码添加一个奇偶校验，还可以将它看做是对可以纠正t个错误的码加上一个额外的信息符号。
扩展码不是循环码，但是可以用频域技术对其进行编码和解码。这种码的特性相对来说易于理解，解码方法的逻辑是其属性的有效证明。
示例：要想构造可纠正一个错误、检测两个错误的长度为7、GF(8)上的里德一索罗门码，我们可以使用，信息进行系统编码后，成为。位置3的傅立叶变换为。
所以最后的码字为。
我们在位置7和位置5上生成两个错误，接收序列就变成。序列。的校正子多项式是。
位置4的校正子是0。尝试纠正单个错误，则产生连接多项式，且位置2的校正子分量得到了正确的预测。因此，位置7上的符号就不再需要了。错误值就是的值，即，所以收到的(7，4)码的码字可以被纠正成，前4个符号是信息。
另外，我们也可以在位置5和位置3上制造两个错误，那么接收到的序列就是，的校正子多项式是。
位置3的值是。纠正单个错误的连接多项式是，但是它不能正确地预测下一个匀量。所以我们假设边缘频率是正确的，并将它加到计算出的上去，得到纠正两个错误的码的校正子。双错误纠正的关键方程为：，。
消去，得到，。它的根是和，表明错误在位置5和位置3上。
示例：我们考虑GF(8)_E的(9，5)里德一索罗门码的情形。在这个例子中，我们有一个由5个符号组成的信息序列。将第一个和最后一个符号作为边缘符号对待，在频域中将它们分别置于位置3和位置0。这样，我们便从纠正单个错误的里德一索罗门码的频谱开始：。反向变换将给出(7，5)里德一索罗门码的码字：。
将两个额外的信息符号加到码字的两端，构成(9，5)里德一索罗门码字
下面假设在位置8和位置5上产生了错误，这样便产生接收序列
先将附加的信息从序列中去除，使得变换为。
向下的3阶项并没有作为校正子析出，而附加的符号则加到了合适的点上，得到。校正子中的各项会随着阶数的增加而增的倍数，表明出现了单个错误，且关键方程的解为。因此，错误序列的谱就是。
当它与R(z)相加时得到。
解码得到了正确的实现，且所有的信息都可以直接从c(z)中得到。