那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

第一步：验证n取第一个自然数时成立

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

证明1：所有的马都是一种颜色

首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：

1, 2, 3……n, n+1

对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；

对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；

由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来源于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

证明2：举例证明下面的定理

——等差数列求和公式

第一步，验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1，右边= =1，所以这个公式在n = 1时成立。

第二步，需要证明假设n = m 时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。步骤如下：

假设n = m 时公式成立，即 （等式1）

然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到 （等式2）

这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边

也就是

这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。

结论：对于任意自然数n，公式均成立。

对于以上例2的分析

在这个证明中，归纳的过程如下：

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）

比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m（m≥b）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。

用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n^2>2n”这一类命题。

针对偶数或奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

奇数方面：

第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

偶数方面：

第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法（又称递归归纳法）

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1,2,3,......,t时成立，并且对于任意自然数k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P(n）对于一切自然数都成立.

跳跃归纳法

设P(n)表示一个与自然数n有关的命题，若(1)P(1)，P(2),…,P(l)成立;(2)假设P(k)成立，可以推出P (k+l)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.

第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P（n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P（n）都成立。

第二数学归纳法（完整归纳法）

另一个一般化的方法叫完整归纳法（也称第二数学归纳法），在第二步中我们假定式子不仅当n=m时成立，当n小于或等于m时也成立.这样可以设计出这样两步:

则命题成立。

例如，这种方法被用来证明：

其中fib（n） 是第n个斐波纳契数和Φ =(√5+1） / 2。1/Φ =(√5－1） / 2 (即黄金分割)。如果我们可以假设式子已经在当n=m和n=m− 1时成立，从fib（m+ 1） =fib(m) +fib（m− 1）之后可以直截了当地证明当n=m+ 1时式子成立。

这种方法也是第一种形式的特殊化：

结论：P（n）对一切自然数n成立。

倒推归纳法

又名反向归纳法

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P（n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P（k）成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P（n）都成立；

螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P（n），Q（n），

（1）验证n=n0时P（n）成立；

（2）假设P（k）（k>n0）成立，能推出Q（k）成立，假设 Q（k）成立，能推出 P（k+1）成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P（n），Q（n）都成立。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是n^2，由此总结出了数学归纳法。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：

递推的基础：证明当n=1时表达式成立。

递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。