更新时间：2023-04-26 13:57
波莱尔可测函数(Borel measurable function)亦称波莱尔函数，是与波莱尔集相适应的可测函数。设f(x)是定义在波莱尔集B⊂Rn上的扩充实值函数，若对任意实数α，点集{x∈B|f(x)>α}是一波莱尔集，则称f(x)是B上的波莱尔可测函数。这类函数构成了勒贝格可测函数类的子类，Rn中勒贝格可测函数与波莱尔函数的复合函数有如下关系：B°B=B， L°B=L， B°L=X， L°L=X，其中B，L分别表示波莱尔可测、勒贝格可测，X表示不一定可测。
假设，是定义在上的单值实函数，称为(m元)波莱尔函数，如果对于任意实数，其中是m维波莱尔代数。波莱尔函数又叫做波莱尔可测函数(或-可测函数)。
波莱尔函数是一类相当广泛的函数，它包括一切阶梯函数、一切连续函数和分段连续函数。波莱尔函数经过有限次的加、减、乘、除运算以及函数的复合，仍然是波莱尔函数；波莱尔函数列的(上、下)极限以及上确界和下确界仍然是波莱尔函数。
1. 波莱尔函数是相当广泛的一类函数：一切波莱尔集的示性函数都是波莱尔函数；即如果，则它的示性函数
是波莱尔函数。
2. 假设而是任意n个实数，那么
是波莱尔函数(称做波莱尔阶梯函数)。
3. 如果是一列波莱尔函数，则
都是波莱尔函数。
4. 一切连续函数都是波莱尔函数。
5. 如果，是m元波莱尔函数，而，是一元波莱尔函数，则，是一元波莱尔函数。特别，如果和是波莱尔函数，则都是波莱尔函数。
引理1 假设，是波莱尔函数，而是概率空间上的m维随机向量。那么，是一随机变量。