设 ， ，根据向量坐标的意义可知

根据点乘的分配律得

又

，

所以

注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需借助向量关系，因此不属于循环推导。

点乘分配律的几何证明：

(a+b)·c=a·c+b·c

c=0时上式是成立的；

c≠0时，(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c

②代数定义推导几何定义

设 ， ，它们的终点分别为 和 ，原点为O， 夹角为 。则

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距离公式对这个等式稍作处理，得

去括号、合并得

注意：余弦定理和距离公式亦无需向量知识。

u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。

向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

交换律：

分配律：

结合律： ，其中m是实数。

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明：

（1）勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|2+|CB|2=|AB|2。

∵AB = CB-CA

∴AB2=(CB-CA)2= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

∴ AB2=AC2+BC2

（2）菱形对角线相互垂直：菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。

设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a2cos(π-α)+a2-a2+a2cosα

又∵ cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

∴AC⊥BD

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

线性变换中点积的意义：

根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F（a·b）则可以构建一个基于a·b+c = 0 （c为偏移）的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

1.两向量a、b的数量积a·b虽与代数中两个数a、b的乘积ab不同，但又很类似。所以书写时、一定要把它们严格区别开来，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。

2.两向量a、b的数量积是个数量，而不是向量。

3.当a≠0时a·b=不能推出b一定是零向量，这是因为任一与 a垂直的非零向量b，都有a·b=0，所以代数中“若ab=0，则a=0或b=0”在向量的数量积中却不适用。

4.由a·b=b·c，不能推出a=c，即等式两边都是数量积时，其“公因式”不能约去。很明显，向量运算中没有除法，相约实质上是相除，这是不允许的。

5.“结合律”对数量积不成立即(a·b)·c≠a·(b·c)。