更新时间：2024-07-22 20:41
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。
即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。
如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。
即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⫋B。空集是任何非空集合的真子集。
非空真子集：如果集合A⫋B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。
真子集与子集的区别：
命题1：若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2n，且有2n-1个真子集，2n-2个非空真子集。
证明：设元素编号为1, 2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进制数（规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5}，则{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111，{e2,e3,e4} ↔ 01110，{e4} ↔ 00010）。即其子集为00...0（n个0） ~ 11...1（n个1）。易知一共有2n个数，因此对应2n个子集。去掉11...1（即表示原来的集合A）则有2n-1个真子集，再去掉00...0（表示空集）则有2n-2个非空真子集。
命题2：空集是任意集合的子集。
证明：给定任意集合A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。
对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 换一种思维将有所帮助，为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
这个命题说明：包含是一种偏序关系。
命题3：若 A，B，C是集合，则：
自反性: A⊆A，反对称性: A⊆ B且 B⊆ A，当且仅当A= B，传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C。这个命题说明：对任意集合 S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。
命题4：若 A，B，C是集合 S的子集，则：
存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S（ ∅⊆A由命题2给出）。存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则 A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩BA⊆ B
命题5: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B=∅ B′ ⊆ A′。
集合思想起源很早，但是集合论作为一门学科是19世纪末、20世纪初才开始发展起来的，为奠定科学集合论做出重要贡献的是著名数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）。他的思想曾在数学界引起很大的争议，在集合论的大论战中，有些数学家创造了集合中使用的有关符号。其中“∈”、“⊂”、“⊆ ”、符号是意大利数学家皮亚诺（G.Peano,1858-1932）首先使用的。他用“∈”表示属于关系，如a是集合A的元素，他记为a∈A如B⊂A表示集合B真包含于A或B是A的真子集。至于a不属于A的元素记号，a∉A则是后来人延伸创用的。