定义

贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。

历史

几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。

现实背景和应用范围

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

* 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；

* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。

第一类贝塞尔函数

第一类 阶贝塞尔函数 是贝塞尔方程当 为整数或 非负时的解，须满足在 时有限。这样选取和处理''J''_α的原因见本主题下面的贝塞尔函数#性质|性质介绍；另一种定义方法是通过它在 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：

上式中 为Γ函数（它可视为阶乘|阶乘函数向非整型因变量和自变量|自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按 速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数 的曲线（ ）。

如果 ;不为整数，则 和 线性无关，可以构成微分方程的一个'''解系'''。反之若 是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：

=

于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与 线性无关的另一解，需要定义'''第二类贝塞尔函数'''。

第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）

'''第二类贝塞尔函数'''也许比第一类更为常用。这种函数通常用表示，它们是贝塞尔方程的另一类解，又被称为'''诺依曼函数'''，存在如下关系：

,

汉开尔函数

贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为'''赫尔曼·汉开尔，汉开尔函数'''，分别定义为：

利用前面推出的关系可将汉开尔函数表示成：

:

黎卡提-贝塞尔函数

黎卡提-贝塞尔函数（Riccati-Bessel functions）和球贝塞尔函数比较类似：

:

该函数满足方程：

利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数，记作 ，用 的偶次幂的无穷和来定义，数 称为贝塞尔函数的阶，它依赖于函数所要解决的问题。 的图形像衰减的余弦曲线， 像衰减的正弦曲线(见图)。第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数)，记作 。当n为非整数时， 可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当 为整数时， 不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函数值。第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为 ，其中 为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程。

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α = n+½），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

* 圆柱体中的热传导问题；

* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FMsynthesis）或凯泽窗（Kaiser window）以及波动声学中都要用到贝塞尔函数。