更新时间：2024-01-01 00:58
形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，通项公式为bn=b1+(n-1)*d；{Cn}为等比数列，通项公式为cn=c1*q^(n-1)；对数列An进行求和，首先列出Sn，记为式（1）；再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn，记为式（2）；然后错开一位，将式（1）与式（2）作差，对从而简化对数列An的求和。这种数列求和方法叫做错位相减法。
如果数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和Sn可用此法来求和。
【典例】：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)·xn-1（x≠0，n∈N*）
当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2
当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1
∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn
两式相减得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn
化简得
错位相减法是数列求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。
求和：Sn=a+2a2+3a3+…+nan(a≠0,n∈N*)
分析：分a=1，a≠1两种情况求解，当a=1时为等差数列易求；当a≠1时利用错位相减法即可求得。
解：
(1)当a=1时， ；
(2)当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan……①
①×a得，aSn= a2+2a3+3a4+……+nan+1 ……②
①-②得，(1-a)Sn=a+(2-1)a2+(3-2)a3+(4-3)a4……+(n-n+1)an-nan+1
(1-a)Sn=a+a2+a3+a4+……+an-nan+1=a(1-an)/(1-a) -nan+1
∴
综上所述，
当a=1时， ；
当a≠1时， ．
求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……..+(2n-1)·xn-1（x≠0,n∈N*）
解：
当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n2
当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+……..+(2n-1)xn-1
∴xSn=x+3x2+5x3+7x4……..+(2n-1)xn
∴两式相减得：(1－x)Sn=1+2x[1+x+x2+x3+...+xn-2]-(2n-1)xn
化简得：
求和：
解：
①
①两边同时乘以
②
①-②得：
已知数列{an}中，a1=3，点(an，an+1)在直线y=x+2上。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=an`3n，求数列{bn}的前n项和Tn。
解：
(1)∵点（an,an+1)在直线y=x+2上
∴an+1=an+2,即an+1-an=2
∴数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列
∴an=3+2(n-1)=2n+1
(2)∵bn=an·3n
∴bn=(2n+1)·3n
∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n ①
3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1 ②
由①-②得
-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)·3n+1
=9+2×9(1-3n-1)/(1-3)-(2n+1)·3n+1
=-2n·3n+1
∴Tn=n·3n+1
以下进行一切通项公式为等差乘等比( )型数列的求和公式推导：
已知数列 的通项公式为
求其前 项和
因为
用上式减下式，得
应用等比数列求和公式可得
两边均乘 得
展开整理得
最终得到
错位相减法并非差比数列的专属求和方法；当｛bn｝和是公比为q(q≠1)的等比数列时，只要｛an｝使得｛cn・bn ｝(其an- an-1= cn-1，n≥2，n∈N*)的前n项和能求出来，就可以用错位相减法求｛an・bn ｝的和；用错位相减法求和时，可以在和式两边乘不是公比且不等于1的非零实数。