限制

更新时间:2023-05-27 16:03

限制逻辑是一种非单调逻辑,通常简称限制,是模卡斯 (MeCarth,J.) 于 1980 年提出的一种有代表性的非单调推理理论。

简介

限制通常指限制逻辑(circumscription),这是一种非单调逻辑,是模卡斯 (MeCarth,J.) 于 1980 年提出的一种有代表性的非单调推理理论。

限制是在一个低阶公式(一阶公式)A 的所有 P 极小(化)模型中都为真的一个较高阶公式(二阶公式),这里 P 是 A 中相对于一定准则的极小变量,直观上,限制的基本思想是捕捉一种猜测推理的经济原则,即从某些事实 A 出发能够推出具有某一性质 P 的对象就是满足 P 的全部对象。

令 A(P,x) 是一个包含谓词 P 与变元 x 的一阶句子,语义上,A 中限制 P,是相对于一个偏序 的所有 P 极小模型都为真的句子集,一个 A 的模型 M 称为极小的,若不存在它的其他模型 M‘ 使得 ,定义 如下:令 ,是两个模型, ,当且仅当:

(1) M1与M2具有相同的论域;

(2) P 在 M1 的外延包含于 P 在 M2 的外延,语法上,限制可刻画如下二阶句子:

其中 p 是谓词变元,A(p,x) 是 A 中以 p 替换 P 的结果。

限制公理

限制公理亦称基础公理、正则公理 (axiom of regularity) ,是集合论的一条重要公理。

任何非空集合都有 极小元素,这个公理形式化为: 或 。该公理断言:任何集合在关系 下是良基的,不存在无限递降链 也就不会有 与循环 实质上此公理是对集合概念的一种限制:有性质 的集合是不存在的。

该公理的另一表述方法是:对任何集合论公式 ,有

这种表述下的正则公理实际上是正则公理模式。此公理是冯· 诺伊曼(von Neumann,J.) 于 1925 年提出的。

应用

限制存在许多变体,例如可限制谓词元组而且允许某些谓词合函数变化,它们具有不同的表达能力,一般地,限制具有可靠性定理,但没有一般的完全性成果,由于限制是二阶形式,计算上比较困难,这也是非单调逻辑的共性问题,由于限制是一阶逻辑的直接扩充,具有一阶逻辑于极小模型的良好性质,因此限制是非单调逻辑中的代表作,对它已有充分的研究和广泛的应用。

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