X为局部紧空间，当且仅当𝔅中存在预紧开集。

X为局部有界空间，当且仅当𝔅中存在有界集。

同时为T1空间的X是完全正则空间。

同时为T1空间的X是豪斯多夫空间。

若Z是X的子空间，则Z的闭包亦然。

若Z是X的凸集，则Z的闭包亦然。

若Z是X的均衡集，则Z的闭包亦然。

若Z是X的有界集，则Z的闭包亦然。

X是赋范空间，当且仅当X是局部凸空间和局部有界空间。

X为有限维向量空间，当且仅当X为局部紧空间。

X是可度量化空间，当且仅当X为第一可数空间。

则线性映射T:X→Y为连续映射，当且仅当在X的原点处连续。

连续线性映射T:X→Y为有界映射。

1.赋范空间是拓扑线性空间。

例1 设En为n维Euclid空间，对x，y∈En，x={xi}，y={yi}，规定

En中的子集族

即 是En中按通常意义的开集全体，则 是En上的一个拓扑。并且，En按线性运算

为拓扑线性空间。

例2 对p≥1， 对 规定

可知 按线性运算

为拓扑线性空间。

拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支，又称之为拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，是赋范线性空间概念的推广。其基本概念建立于20世纪30年代，而今已经发展成为一门完整的学科，在纯粹数学和应用数学、理论物理、现代力学和现代工程理论中都有广泛应用。

20世纪初，法国数学家弗雷歇在引入距离空间，并用距离概念来统一过去分析学中的许多重要收敛时，就知道[a，b]上一列函数的“点点收敛”概念是不能用距离收敛来描述的。20世纪30年代以来，泛函分析中大量应用弱收敛、弱拓扑，它们都不能用距离来描述。这就很自然地把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论，其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密联系在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极其重要的作用，法国数学家勒雷和波兰数学家绍德尔所推广的不动点定理就是有力的例证之一。1935年以后，经过十多年的努力，这一分支终于形成，它的许多结果不仅在泛函分析中有着广泛的应用，而且为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

拓扑空间

分析数学中常常出现各种不同的收敛性，它们都可以统一地用拓扑空间的语言来刻画。

定义1 设X是非空集合， 是由X的某些子集所组成的集类，如果

（1）

（2） 中任意个集合的和集属于 ；

（3） 中任意两个集合的交集属于 ；

则称 为拓扑空间，称 为X上的拓扑，称 中的集合为 中的开集，称开集的余集为闭集。

注：在拓扑 明确的情况下，常简称X为拓扑空间。

现代数学常见的空间中不仅具有拓扑结构，而且元素之间可以自然地进行线性运算，其中线性运算关于相应的拓扑还是连续的。

距离线性空间

如果拓扑线性空间中的拓扑由度量导出，则得到度量线性空间的概念。由于任何度量线性空间均可改赋一个等价的平移不变的度量，即满足

的度量，因而只需考察具有平移不变度量的线性空间。下面给出一个重要概念。

定义4 设X为线性空间，定义于X上的 满足：

（1）

（2）

（3）

（4）

则称X为赋准范线性空间。

赋准范线性空间是一个具有平移不变距离的距离线性空间，其距离由

决定。