更新时间：2024-04-11 14:26
若集合 ，在 上的二元运算（该运算称为群的乘法，注意它未必是通常意义下数的乘法，其结果称为积） 构成的代数结构 ，满足：
1. 封闭性：即G的任意两个元素在 下的运算结果都是该集合的一个元素。（ ， ）；
2. 结合律：，有；
3.单位元（幺元）： 中存在元素 ，使G中任意元素 与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于 本身。（ ，使 ，有 ）；
4. 逆元： ， ，使得 ， 称为 的逆元，记为 ，
则 称为一个群，或乘法群，简记作。
在无歧义时，可将 a·b写成 ab。
有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法（同样未必是通常意义下数的加法），此时该运算通常记为 ，群元素的运算也被记为如同 的形式，而群也可被称为加法群。
设是一个群，则
性质3,4,5,6的证明如下：
（3）根据定义4，使得。由于和均为中元素并且关于乘法封闭，所以也在中。令，则，因此方程在中有解。
同理可证另一个方程在中有解。
（4）若，则两边左乘，根据结合律即可得，同理可证右消去律。
（5）设是的逆元，则。根据消去律可知。
（6）由封闭性易证。由于，所以是的逆元。根据逆元的唯一性可知结论成立。
注意：性质4的消去律虽然是由逆元的存在性以及单位元e的存在性证明的，但是不能将定义中的3：单位元的存在性和4：逆元的存在性替换为消去律。例如考虑正整数集以及通常意义下的乘法，在乘法下正整数集满足封闭性、乘法结合律和消去律，但显然无法构成一个群，因为除了单位元“1”以外所有元素都不存在逆元。
但是，如果将集合限定为有限集，则只要它满足封闭性、结合律和消去律，它就是一个群。
例1
在普通乘法下是群。
证：
（1）封闭性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1
（2）结合律：成立
（3）单位元：1
（4）逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1
例2
在的加法下是群.
证：
（1）封闭性：除以n的余数只能是 ，故封闭性成立
（2）结合律：成立
（3）单位元：0
（4）逆元素：对任意元素a有 ，a的逆元
定义 为集合 上所有双射的集合，并定义合成映射 ，这里 是 的任意元素。 构成一个群，这个群被称为置换群，记为 或 。
例集合 的三个元素置换群组成 .
定义 为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法 为矩阵乘法，则 构成一个群。
这个群称为一般线性群，记为 。
若一个非空集合G只满足群的定义中的（1）和（2），即满足封闭性和结合律，称这样的代数结构为半群。
若一个群 满足交换律：对 的任意两个元素 ，总有，则称群 为阿贝尔群，也称为交换群。
例如，群 就是一个阿贝尔群；群 和 亦然。
若对于两个群 和 ，有映射 满足以下条件：
对G中任意元素a,b，都有 ；
则称映射 为群 到群 的同态。
如果映射 为单射，则称 为单同态。
易证得，同态有如下性质：
经典的同态有
经典的同构有：
(1)
(2)
其中 ， 是 的原根。
映射 是 到 的同构。
一般可以把 中任意一个置换p分解为若干不相交的循环乘积。
P=( … )( … )….( … )
其中 ，设k阶循环出现的次数为 ,用 表示，则 中置换的格式为 ... 。
例：(1)(23)(4 5 6 7)的格式是 。